O que é logaritmo, como calcular e usar no dia a dia

O logaritmo é um conceito matemático que muitas vezes assusta os estudantes, mas é extremamente útil em diversas situações. Ele ajuda a resolver problemas que envolvem crescimento, escala e proporção, e aparece em áreas como finanças, tecnologia e ciências. Entenda aqui neste artigo! 

Qual é a definição de logaritmo?

O logaritmo é a operação matemática que funciona como o inverso da exponenciação. Em outras palavras, enquanto a exponenciação pergunta “qual é o resultado de um número elevado a uma potência?”, o logaritmo pergunta: “Qual é o expoente necessário para obter um determinado número a partir de uma base específica?”

Por exemplo, se 2 elevado a 3 resulta em 8 (ou seja, 2 * 2 * 2 = 8), o logaritmo de 8 na base 2 responde justamente qual é esse expoente. Então, dizemos que o logaritmo de 8 na base 2 é 3. Esse conceito permite transformar problemas envolvendo multiplicações repetidas ou números muito grandes em operações mais simples.

O logaritmo também facilita comparações e cálculos em escalas que crescem rapidamente, como crescimento populacional, juros compostos, intensidade de sons ou magnitudes de terremotos. 

Ao transformar multiplicações e potências em somas e multiplicações simples, ele torna o trabalho com números exponenciais muito mais acessível.

Além disso, o logaritmo é uma ferramenta poderosa para entender relações proporcionais. Por exemplo, ao estudar como uma população cresce ao longo do tempo ou como o capital investido rende juros compostos, o logaritmo permite calcular rapidamente o tempo ou a taxa necessária para atingir um determinado resultado, tornando conceitos complexos mais intuitivos.

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Como se calcula o logaritmo?

Calcular um logaritmo significa descobrir qual é o expoente que, aplicado a uma base específica, resulta em determinado número. Para bases simples, como 10 ou 2, é possível fazer isso de forma direta. 

Por exemplo, para encontrar o logaritmo de 1000 na base 10, você se pergunta: “10 elevado a qual número dá 1000?” A resposta é 3, porque 10 × 10 × 10 = 1000.

Para números mais complexos ou bases menos comuns, utilizam-se tabelas de logaritmo, calculadoras ou softwares que possuem a função log. A prática ajuda a memorizar padrões e torna os cálculos mais rápidos, permitindo aplicar logaritmos de forma eficiente em problemas de matemática, finanças, ciências e tecnologia.

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Para que serve o logaritmo na vida real?

Os logaritmos aparecem em muitas situações cotidianas. Eles ajudam a calcular juros compostos, medir intensidade de sons (decibéis), analisar crescimento populacional e até estudar escalas de terremotos (escala Richter).

Qual é a regra do logaritmo?

Os logaritmos possuem regras fundamentais que tornam os cálculos mais fáceis, especialmente quando lidamos com números grandes, pequenos ou exponenciais. Com elas, multiplicações, divisões e potências se transformam em operações mais simples.

1. Regra do Produto

O logaritmo de uma multiplicação é igual à soma dos logaritmos de cada fator:
log_b(x * y) = log_b(x) + log_b(y)

Exemplo: log_2(8) + log_2(4) = log_2(32) = 5

Essa regra transforma multiplicações em somas, facilitando cálculos mentais ou usando tabelas.

2. Regra do Quociente

O logaritmo de uma divisão é a diferença entre os logaritmos:
log_b(x / y) = log_b(x) – log_b(y)

Exemplo: log_10(1000) – log_10(10) = log_10(100) = 2

Essa regra ajuda a comparar proporções e calcular aumentos ou reduções exponenciais.

3. Regra da Potência

Quando um número é elevado a uma potência, o logaritmo transforma essa potência em multiplicação:
log_b(x^n) = n * log_b(x)

Exemplo: log_2(8^3) = 3 * log_2(8) = 9

Essa regra é muito útil em cálculos de crescimento exponencial, como juros compostos ou crescimento populacional.

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5 formas de usar o logaritmo no dia a dia

1. Finanças: calcular juros compostos, tempo para um investimento dobrar ou efeito da inflação.
2. Acústica: medir intensidade de sons em decibéis, transformando grandes variações em uma escala compreensível.
3. Ciências: avaliar crescimento populacional, decaimento radioativo e outros fenômenos exponenciais.
4. Tecnologia: interpretar magnitudes em algoritmos, compressão de dados ou análise de redes.
5. Geologia: calcular magnitudes de terremotos na escala Richter, que é logarítmica, permitindo comparar a energia liberada.

Questões do Enem sobre logaritmo

O logaritmo é um tema recorrente no Enem, aparecendo em problemas de crescimento, juros compostos, escalas e proporções. Resolver essas questões exige tanto conhecimento das regras quanto raciocínio lógico para aplicar em situações práticas.

1. Questão do Enem 2018 – Juros Compostos

Um investidor aplicou R$ 1.000,00 em uma aplicação que rende 10% ao ano. Qual é o tempo necessário para que o capital dobre?

Para resolver, usamos a fórmula do montante composto:
M = P * (1 + i)^n
1.000 * (1 + 0,1)^n = 2.000 → (1,1)^n = 2

Aplicando o logaritmo:
log(1,1^n) = log(2) → n * log(1,1) = log(2) → n = log(2) / log(1,1) ≈ 7,27 anos

Essa questão mostra como o logaritmo transforma um problema de potência em uma divisão simples, permitindo calcular o tempo de crescimento de forma prática.

2. Questão do Enem 2019 – Escala Richter

A energia liberada por um terremoto de magnitude 7 é aproximadamente 32 vezes maior que a de um terremoto de magnitude 5. Se dois terremotos consecutivos seguem a mesma relação, quantas vezes mais energia libera um terremoto de magnitude 9 em relação a um de magnitude 5?

Como a escala Richter é logarítmica, usamos a regra da potência:
Razão de energia = 32^(9-5) = 32^4 = 1.048.576

Ou seja, um terremoto de magnitude 9 libera mais de um milhão de vezes a energia de um de magnitude 5.

Esses exemplos do Enem mostram que o logaritmo não é apenas teoria: ele aparece em situações do cotidiano, como finanças e geologia, e exige interpretação de problemas e aplicação das regras matemáticas.

Essas questões mostram como o logaritmo aparece em problemas reais e exigem raciocínio matemático aliado à compreensão prática.

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